Question

设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx
（1）当a=b=

1

2

时，求f（x）的最大值．
（2）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

(0＜x≤3)，以其图象上任一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=b=

1

2

时，求出f（x），进而求得f′（x），由f′（x）的符号判断f（x）的单调性，根据单调性求出f（x）的最大值．
（2）求出F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，由题意可得 a≥x0-

1

2

x

2 0

在x₀∈（0，3]上恒成立，易知当x₀=1时，x0-

1

2

x

2 0

取得最大值

1

2

，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=b=

1

2

时，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x(x＞0)，
f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

易知f（x）在（0，1]上递增，在[1，+∞）上递减，故f（x）的最大值为f(1)=-

3

4

．（6分）
（2）F(x)=lnx+

a

x

，F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
由题意

x0-a

x 2 0

≤

1

2

，x₀∈（0，3]恒成立，即a≥x0-

1

2

x

2 0

在x₀∈（0，3]上恒成立．
易知当x₀=1时，x0-

1

2

x

2 0

取得最大值

1

2

，
故a≥

1

2

．      （12分）

点评：本题主要考查利用导数求曲线在某点的切线斜率，求二次函数在闭区间上的最值，利用导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题．