Question

某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0)满足x=3-

k

m+1

）（k为常数）满足：x=3-

k

m+1

，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

分析：（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：x=3-

k

m+1

，当m=0时，x=1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5×

8+16x

x

（万元），则利润y=x[1.5×

8+16x

x

]-（8+16x+m）整理即可．（2）对（1）利润函数y=-[

16

m+1

+（m+1）]+29（m≥0），利用基本不等式求最大值即可．

解答：解：（1）由题意知，当m=0时，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-

2

m+1

；
每件产品的销售价格为1.5×

8+16x

x

（万元），
∴利润函数y=x[1.5×

8+16x

x

]-（8+16x+m）
=4+8x-m=4+8（3-

2

m+1

）-m
=-[

16

m+1

+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因为利润函数y=-[

16

m+1

+（m+1）]+29（m≥0），
所以，当m≥0时，

16

m+1

+（m+1）≥2

16

=8，
∴y≤-8+29=21，当且仅当

16

m+1

=m+1，即m=3（万元）时，y_max=21（万元）．
所以，该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．

点评：本题考查了商品利润函数模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的灵活运用，是中档题目．