Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15，则数列{

1

anan+1

}的前2013项和为

2012

2013

．

Answer 1

分析：设{a_n}是公差d的等差数列，由a₅=5，S₅=15．解得a₁和d．由此能求出a_n．再利用裂项法求数列{

1

anan+1

}的前2013项和．

解答：证明：设{a_n}是公差d的等差数列，
∵a₅=5，S₅=15．
∴a₁+4d=5，5a₁+10d=15
解得a₁=1，d=1．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
a_n=1+（n-1）×1=n．
设b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₃=b₁+b₂+…+b₂₀₁₃
=（ 1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2012

-

1

2013

）
=1-

1

2013

=

2012

2013

．
故答案为：

2012

2013

．

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．