题目内容
如果正实数a，b满足ab=ba．且a＜1，证明a=b．分析：这道题可以有三种不同的证明方法．证法一的思路：由ab=ba，得blna=alnb，从而
=
，考虑函数y=
(0＜x＜+∞)，它的导数是y′=
.然后根据函数的单调性用反证法进行证明．
证法二的思路是因为0＜a＜1，ab=ba，所以blogaa=alogab，即
=logab．然后根据对数函数的性质用反证法进行证明．
证法三的思路是假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0由于0＜a＜1，ε＞0，根据幂函数或指数函数的性质用反证法进行证明．
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
| lnx |
| x |
| 1-lnx |
| x2 |
证法二的思路是因为0＜a＜1，ab=ba，所以blogaa=alogab，即
| b |
| a |
证法三的思路是假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0由于0＜a＜1，ε＞0，根据幂函数或指数函数的性质用反证法进行证明．
解答：证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而
=
考虑函数y=
(0＜x＜+∞)，它的导数是y′=
.
因为在（0，1）内f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数
由于0＜a＜1，b＞0，所以ab＜1，从而ba=ab＜1．由ba＜1及a＞0，
可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
则根据f（x）在（0，1）内是增函数，
得f（a）≠f（b），即
≠
，
从而ab≠ba这与ab=ba矛盾
所以a=b
证二：因为0＜a＜1，ab=ba，
所以blogaa=alogab，即
=logab
假如a＜b，则
＞1，但因a＜1，
根据对数函数的性质，
得logab＜logaa=1，从而
＞logab，这与
=logab矛盾
所以a不能小于b
假如a＞b，则
＜1，而logab＞1，这也与
=logab矛盾
所以a不能大于b，因此a=b
证三：假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0
由于0＜a＜1，ε＞0，
根据幂函数或指数函数的性质，得aε＜1和(1+
)a＞1，
所以aε＜(1+
)a，aaaε＜aa(1+
)a，aa+ε＜(a+ε)a，
即ab＜ba．这与ab=ba矛盾，所以a不能小于b
假如b＜a，则b＜a＜1，可设a=b+ε，其中ε＞0，同上可证得ab＜ba．
这于ab=ba矛盾，所以a不能大于b
因此a=b
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
考虑函数y=
| lnx |
| x |
| 1-lnx |
| x2 |
因为在（0，1）内f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数
由于0＜a＜1，b＞0，所以ab＜1，从而ba=ab＜1．由ba＜1及a＞0，
可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
则根据f（x）在（0，1）内是增函数，
得f（a）≠f（b），即
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
从而ab≠ba这与ab=ba矛盾
所以a=b
证二：因为0＜a＜1，ab=ba，
所以blogaa=alogab，即
| b |
| a |
假如a＜b，则
| b |
| a |
根据对数函数的性质，
得logab＜logaa=1，从而
| b |
| a |
| b |
| a |
所以a不能小于b
假如a＞b，则
| b |
| a |
| b |
| a |
所以a不能大于b，因此a=b
证三：假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0
由于0＜a＜1，ε＞0，
根据幂函数或指数函数的性质，得aε＜1和(1+
| ε |
| a |
所以aε＜(1+
| ε |
| a |
| ε |
| a |
即ab＜ba．这与ab=ba矛盾，所以a不能小于b
假如b＜a，则b＜a＜1，可设a=b+ε，其中ε＞0，同上可证得ab＜ba．
这于ab=ba矛盾，所以a不能大于b
因此a=b
点评：反证法是证明的一种重要方法，一题多证、举一反三能够有效地提高我们的证明能力．
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