Question

已知数列{a_n}满足a1=

1

4

，an=

an-1

(-1)nan-1-2

(n≥2，n∈N*)
（1）求证：数列{

1

an

+(-1)n}（n∈N^*）是等比数列；
（2）设cn=ansin

(2n-1)π

2

，数列{c_n}的前n项和T_n，求证：对任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

Answer 1

分析：（1）利用数列的递推关系得出数列{

1

an

+(-1)n}的相邻两项的关系是解决本题的关键，要确定出相邻两项的比是常数，注意整体构造的思想；
（2）首先确定出数列{c_n}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．

解答：证明：（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

an

+(-1)=3≠0，所以数列{

1

an

+(-1)n}（n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列．

（2）由（1）知an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

，sin

(2n-1)

2

=(-1)n-1，∴cn=

1

3•2n-1+1

，当n≥3时，则
Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

．
又∵T₁＜T₂＜T₃，∴对任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

点评：本题考查数列的递推公式确定数列的思想，根据递推公式确定出数列是否满足特殊数列的定义，考查学生的转化与化归思想．第（2）问考查学生的不等式放缩的技巧与方法，关键要将数列{c_n}的每一项进行放缩转化为特殊数列从而达到求和证明的目的．