Question

【题目】已知函数．

（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；

（2）讨论函数零点的个数．

Answer 1

【答案】(1)或．(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）求出曲线再点出的切线方程，根据两直线垂直的条件求出a的值；（2）对a分情况讨论，得出单调性，由单调性求出最小值，再讨论最小值的大小来确实是否有零点。

试题解析：（1），

因为在点处垂直于直线 ，

所以，，解得或．

（2）函数的定义域为，．

①当时， ，无零点；

②当时，，得．

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

∴．

因为，

且当时，，当→时，，，

∴当时，即，，函数有两个不同的零点；

当时，即时，函数有一个零点；

当时，即时，函数没有零点；

③当时，令，得．

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

∴．

当→和当→，均有，

∴当时，即，时，函数有两个不同的零点；

当时，即时，函数有一个零点；

当时，即时，函数没有零点；

综上，当或时，函数有两个不同的零点；

当或时，函数有一个零点；

当时，函数没有零点．