Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，二面角B-AA₁-C为

π

2

，则AA₁与底面ABC所成角的正弦值为（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  6

  3

• C．

  2

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：根据棱柱的体积等于底面积乘以高，等于直截面乘以侧棱长，可求A₁到平面ABC的距离为h，从而可求AA₁与底面ABC所成角的正弦值．

解答：解：设棱长为1，A₁到平面ABC的距离为h
过B作BD⊥A₁A，垂足为D，连接CD，则∠BDC=

π

2

，△BCD为棱柱的直截面
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等
∴BD=CD=

2

2

∴S△BDC=

1

4

根据棱柱的体积等于底面积乘以高，等于直截面乘以侧棱长可得

3

4

×h=

1

4

×1
∴h=

3

3

设AA₁与底面ABC所成角为α，则sinα=

h

1

=

3

3

故选D．

点评：本题以三棱柱为载体，考查线面角，解题的关键是根据棱柱的体积等于底面积乘以高，等于直截面乘以侧棱长，可求A₁到平面ABC的距离．