Question

14．已知f（x）=|3x+$\frac{1}{a}$|+3|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）≥8的解集；
（Ⅱ）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的解析式，对x讨论，当x≥1时，当-$\frac{1}{3}$＜x＜1时，当x≤-$\frac{1}{3}$时，化简f（x），再解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，结合基本不等式，可得f（x）的最小值为2$\sqrt{3}$，再由不等式恒成立思想，可令m不大于最小值，即可得到m的最大值．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=|3x+1|+|3x-3|，
则当x≥1时，f（x）=3x+1+3x-3=6x-2≥8，解得x≥$\frac{5}{3}$，则为x≥$\frac{5}{3}$；
当-$\frac{1}{3}$＜x＜1时，f（x）=3x+1+3-3x=4≥8，无解，则x∈∅；
当x≤-$\frac{1}{3}$时，f（x）=-3x-1+3-3x=2-6x≥8，解得x≤-1，则为x≤-1．
综上可得x≤-1或x≥$\frac{5}{3}$．
则解集为（-∞，-1]∪[$\frac{5}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|3x+$\frac{1}{a}$|+3|x-a|≥|（3x+$\frac{1}{a}$）+（3a-3x）|=|$\frac{1}{a}$+3a|=3a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{3a•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当3a=$\frac{1}{a}$即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，取得最小值2$\sqrt{3}$．
由于任意x∈R，f（x）≥m恒成立，
则m≤2$\sqrt{3}$．
即有m的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．