Question

（2012•奉贤区一模）设函数f0(x)=(

1

2

)|x|，f1(x)=|f0(x)-

1

2

|，fn(x)=|fn-1(x)-(

1

2

)n|，n≥1，n∈N，则方程fn(x)=(

1

n+2

)n有

2ⁿ⁺¹

个实数根．

Answer 1

分析：利用归纳法思想，先令n=1，可知方程2²=4个根，再考虑当n=k+1时，会有f_k+1（x）=±[f_k（x）-(

1

2

)k]=(

1

k+1+2

)k+1，依此类推，每个方程去掉绝对值符号，都对应两个方程，而每个方程又会有两个根，由此可得结论．

解答：解：先令n=1，则有：|f₀（x）-

1

2

|=

1

3

，∴(

1

2

)|x|=

5

6

或

1

6

，可知有2²=4个根；
于是当n=k+1时，会有f_k+1（x）=±[f_k（x）-(

1

2

)k]=(

1

k+1+2

)k+1，依此类推，每个方程去掉绝对值符号，都对应两个方程，而每个方程又会有两个根，从而可以得到有2ⁿ⁺¹个根．
故答案为：2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查函数的迭代，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．