题目内容
已知等差数列{an}中，a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．
（I）求{an}，{bn}的通项公式；
（II）设数列{cn}满足对任意的n∈N*均有an+1=
+
+…+
成立，求c1+c2+…+c2008的值．
（I）求{an}，{bn}的通项公式；
（II）设数列{cn}满足对任意的n∈N*均有an+1=
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
分析：（I）根据a2，a5，a14成等比数列可得d的方程，解出d，可得an，进而可得公比q，bn；
（II）令n=1可求c1，当n≥2时，由n≥2时，an+1=
+
+…+
①，得an=
+
+…+
②，两式相减可求得cn，利用等比数列前n项和公式可求得结果；
（II）令n=1可求c1，当n≥2时，由n≥2时，an+1=
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn-1 |
| bn-1 |
解答：解：（I）∵等差数列{an}的a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的第二、三、四项，且a1=1，
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）2，解得d=2或d=0（舍），
则a2=1+2=3，a5=1+4×2=9，
∵公比q=
=3，a2=b2=3，∴b1=1，
∴bn=b1•qn-1=1•3n-1=3n-1．
故an=2n-1，bn=3n-1．
（II）当n=1时，
=a2，∴c1=1×3=3，
当n≥2时，an+1=
+
+…+
①，an=
+
+…+
②，
①-②得，
=an+1-an=2，即cn=2bn=2×3n-1(n≥2)，
∴cn=
，
故c1+c2+…+c2008=3+2×(3+32+…+32007)=3+2×
=32008．
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）2，解得d=2或d=0（舍），
则a2=1+2=3，a5=1+4×2=9，
∵公比q=
| a5 |
| a2 |
∴bn=b1•qn-1=1•3n-1=3n-1．
故an=2n-1，bn=3n-1．
（II）当n=1时，
| c1 |
| b1 |
当n≥2时，an+1=
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn-1 |
| bn-1 |
①-②得，
| cn |
| bn |
∴cn=
|
故c1+c2+…+c2008=3+2×(3+32+…+32007)=3+2×
| 3(1-32007) |
| 1-3 |
点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查学生的运算能力，关键是熟记相关公式．
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