Question

（理）已知数列{log₃（a_n+1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=2，a₂=8，则

lim

x→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

+…+

1

an+1-an

)等于（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  3

  4

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由题意，可先由数列{log₃（a_n+1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=2，a₂=8得出数列{log₂（a_n-1）}的首项为1，公差为1，由此解出log₃（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，从而求出a_n=-1+2ⁿ，再研究a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-1-2ⁿ+1=2ⁿ即可得出

lim

n→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

)=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可

解答：解：数列{log₃（a_n+1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=2，a₂=8
数列的公差为log₃9-log₃3=1，
故log₃（a_n+1）=1+（n-1）×1=n，即a_n+1=2ⁿ，a_n=-1+2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-1-2ⁿ+1=2ⁿ
∴

lim

n→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

)=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

lim

n→∞

(

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

)=

lim

n→∞

(1-

1

2n

)=1
故答案为1

点评：本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a_n=-1+2ⁿ，难度较高．