Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是上R的偶函数，其图象关于点M（

3π

4

，0）对称，且在区间[0，

π

2

]上是单调函数，求解析式．

Answer 1

分析：根据函数为偶函数化简f（-x）=f（x），得到-sinωxcosφ=sinωxcosφ对任意x都成立，从而得出cosφ=0，算出φ=

π

2

，可得f（x）=sin（ωx+

π

2

）=cosωx．根据函数f（x）图象关于点M（

3π

4

，0）对称，建立关于x的等式算出cos

3ωπ

4

=0，可得ω=

2

3

（2m+1）（m∈Z）．再由f（x）在区间[0，

π

2

]上是单调函数，根据余弦函数的图象与性质加以讨论可得ω=

2

3

或2，即可求出函数f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）对任意的x∈R成立，
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），可得-sinωxcosφ+cosωxsinφ=sinωxcosφ+cosωxsinφ，
化简得-sinωxcosφ=sinωxcosφ，
上式对任意x都成立，结合ωx为任意实数，可得cosφ=0．
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

2

，可得f（x）=sin（ωx+

π

2

）=cosωx
∵f（x）的图象关于点M（

3π

4

，0）对称，∴f（

3π

4

-x）=f（

3π

4

+x）对任意的x∈R成立，
取x=0得f（

3π

4

）=0，即cos

3ωπ

4

=0，
得

3ωπ

4

=

π

2

+mπ（k∈Z），解之得ω=

2

3

（2m+1）（m∈Z），
由于ω＞0，可得m为正实数．
当m=0时ω=

2

3

，可得f（x）=cos

2

3

x的减区间为[3kπ，

3π

2

+3kπ]（k∈Z），
可得函数在[0，

π

2

]上是减函数，满足题意；
当m=1时ω=2，可得f（x）=cos2x的减区间为[kπ，

π

2

+kπ]（k∈Z），在[0，

π

2

]上是减函数，满足题意；
当m≥2时ω≥

10

3

，f（x）=cosωx的减区间为[

2kπ

ω

，

π

ω

+

2kπ

ω

]，
由于

π

ω

≤

3π

10

，所以函数在区间[0，

π

2

]上不可能是单调函数．
综上可得ω=

2

3

或2，
所以函数f（x）的解析式为f（x）=cos

2

3

x或f（x）=cos2x．

点评：本题给出正弦型三角函数的图象满足的条件，求函数的解析式．着重考查了函数的奇偶性、三角函数的单调区间求法和函数图象的对称性等知识，属于中档题．