Question

已知数列{a_n}是各项均为正数的等差数列，a₁=1，且a₂，a₃+1，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

3	(n+1)(an+2)

(n∈N+)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂，a₃+1，a₆成等比数列．
∴(a3+1)2=a2a6，
即（2d+2）²=（1+d）（1+5d），
解得d=3或d=-1．
由已知数列{a_n}各项均为正数，
∴d=3，
故a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）∵bn=

3

(n+1)(an+2)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．