Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

已知负数和正数，且对任意的正整数n，当≥0时, 有[, ]=

 [, ]；当<0时, 有[, ]= [, ]．

（1）求证数列{}是等比数列；

（2）若，求证；

（3）是否存在，使得数列为常数数列？请说明理由．

Answer 1

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

（1）当≥0时，b_n+1－a_n+1= -a_n= ；

当<0, b_n+1－a_n+1 = b_n- = ．

所以，总有b_n+1－a_n+1 = (b_n-a_n),                      

又，可得，                     

所以数列｛b_n－a_n｝是等比数列．                           ………………4分

（2）①由，可得，故有，

∴，，从而，

故当n=1时，成立．                            ………………6分

②假设当时，成立，即，      

由，可得，                   

, 故有，

∴,                        ………………9分

,故有

∴, ，故

∴当时，成立．

　综合①②可得对一切正整数n，都有．              ………………12分

（3）假设存在，使得数列为常数数列，

 由（1）可得b_n－a_n=()^n-1，又，

故b_n=()^n-1，                                  ………………14分

由恒成立，可知≥0,即()ⁿ≥0恒成立，

 即2ⁿ≤对任意的正整数n恒成立，                 　 ………………16分

又是正数，故n≤对任意的正整数n恒成立，

因为是常数，故n≤不可能对任意正整数n恒成立．

故不存在，使得数列为常数数列．　　　　　　　    ………………18分