Question

已知f(x)=

lnx

1+x

-lnx，f（x）在x=x₀处取得最大值，以下各式中正确的序号为（　　）
①f（x₀）＜x₀；②f（x₀）=x₀；③f（x₀）＞x₀；④f(x0)＜

1

2

；⑤f(x0)＞

1

2

．

A．①④

B．②④

C．②⑤

D．③⑤

Answer 1

分析：求导函数，可得f′(x)=-

x+1+lnx

(1+x)2

令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x₀，代入验证，即可得到结论．

解答：解：求导函数，可得f′(x)=-

x+1+lnx

(1+x)2

令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x₀，
∴-x₀-1=lnx₀
∴f（x₀）=(-x0-1)•

1-1-x0

1+x0

=x₀，即②正确
f(x0)-

1

2

=

-2x0lnx0-(1+x0)

2(1+x0)

∵-x₀-1=lnx₀，
∴f(x0)-

1

2

=

(1-2x0)lnx0

2(1+x0)

x=

1

2

时，f′（

1

2

）=-

3 2 +ln 1 2

9 4

＜0=f′（x₀）
∴x₀在x=

1

2

左侧
∴x₀＜

1

2

∴1-2x₀＞0
∴

(1-2x0)lnx0

2(1+x0)

＜0
∴f(x0)＜

1

2

∴④正确
综上知，②④正确
故选B．

点评：本题考查导数知识的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．