Question

【题目】已知,函数.

(Ⅰ)若有极小值且极小值为0，求的值；

(Ⅱ)当时， , 求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：

(Ⅰ)求出导函数，通过研究的解，确定和的解集，以确定的单调性，从而确定是否有极小值，在有极小值时，由极小值为0，解得值，如符合上述范围，即为所求；

(Ⅱ)先把不等式f(x)+f(-x)≥0具体化为： ，可分类讨论此不等式成立的情形， 时恒成立，由于对恒成立，因此只要，不等式满足恒成立，接着还要研究时，不等式恒成立的的范围，此时再分类：当时， 恒成立，当时， 恒成立，这时可换元，设，则问题转化为对恒成立， 对恒成立，可利用导数求最值，由最值＞0或＜0确定出的范围．

详解：

(Ⅰ) .

①若，则由解得,

当时， 递减；当上， 递增；

故当时， 取极小值，令，得（舍去）.

若，则由，解得.

(i)若，即时，当， .递增；当上， 递增.

故当时， 取极小值，令，得（舍去）

（ii）若，即时， 递增不存在极值；

(iii)若，即时，当上， 递增； ， 上， 递减；当上， 递增.

故当时， 取极小值,得满足条件.

故当 有极小值且极小值为0时,

(Ⅱ) 等价于，即

当时，①式恒成立；当时， ，故当时，①式恒成立；

以下求当时,不等式恒成立，且当时不等式恒成立时正数的取值范围.

令,以下求当恒成立，且当,

恒成立时正数的取值范围.

对求导，得，记.

(i)当时， ,

故在上递增，又，故,

即当时， 式恒成立；

(ii)当时， ,故的两个零点即的两个零点和,在区间上， 是减函数，

又，所以，当时①式不能恒成立.

综上所述,所求的取值范围是.