Question

（2012•台州模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值，从而求得B．
（Ⅱ）由余弦定理得可得a²+c²-ac=4，结合a²+c²-ac≥ac，可求得ac的最大值，代入△ABC的面积公式，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化为：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，
∴2sinA•cosB=sin（B+C）．
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA，
∴2sinA•cosB=sinA，解得：cosB=

1

2

，故B=

π

3

．
（Ⅱ）若b=2，由余弦定理得：a2+c2-2ac•cos

π

3

=4，即a²+c²-ac=4
又a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4（取=时，a=c=

3

），
故△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，故△ABC的面积的最大值为

3

．

点评：本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理的运用，考查两角和公式、诱导公式，以及基本不等式的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．