Question

已知圆 O：x²+y²=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为

 

．

Answer 1

分析：设出A、B和Q的坐标，由AB与PQ的中点相同得到A、B和Q的坐标的关系，再由

PA

•

PB

=0得到A、B和Q的坐标的关系，然后结合A，B在圆上及|AB|=|PQ|列式后消掉A，B的坐标，得到关于Q的横纵坐标的函数关系式，则答案可求．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），又P（1，1），
则x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y+1，

PA

=(x1-1，y1-1)，

PB

=(x2-1，y2-1)．
由PA⊥PB，得

PA

•

PB

=0，即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）-（y₁+y₂）+2=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x+1+y+1-2=x+y     ①
又∵点A、B在圆上，∴x12+y12=x22+y22=4    ②
再由|AB|=|PQ|，得(x1-y1)2+(x2-y2)2=(x-1)2+(y-1)2，
整理得：x12+y12+x22+y22-2(x1y1+x2y2)=(x-1)2+(y-1)2  ③
把①②代入③得：x²+y²=6．
∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x²+y²=6．
故答案为：x²+y²=6．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了数学转化思想方法，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题．