Question

已知函数f(x)=lg

2x

ax+b

，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx
（1）求f（x）的表达式；
（2）设不等式f（x）≤lgt的解集为A，且A⊆（0，4]，求实数t的取值范围．
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=lg

2x

ax+b

，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx，我们可以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值，进而得到f（x）的表达式；
（2）由（1）中函数f（x）的表达式，利用对数函数的单调性，我们可将不等式f（x）≤lgt，转化为一个分式不等式，由等式f（x）≤lgt的解集为A，且A⊆（0，4]，可以构造出关于关于t的不等式，解不等式即可求出满足条件的实数t的取值范围．
（3）根据对数的运算性质，可将方程f（x）=lg（8x+m），转化为一个关于x的分式方程组，进而根据方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，则方程组至少一个方程无解，或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案．

解答：解：（1）∵当x＞0时，f(x)-f(

1

x

)=lgx恒成立
∴lg

2x

ax+b

-lg

2

bx+a

=lgx，
即（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b（2分）
又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1，
∴f(x)=lg

2x

1+x

（4分）
（2）由不等式f（x）≤lgt，
即lg

2x

1+x

≤lgt⇒

(2-t)x-t

1+x

≤0且

2x

1+x

＞0（6分）
由于解集A⊆（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以A=(0，

t

2-t

]⊆(0，4]即

t

2-t

≤4⇒t≤

8

5

，（8分）
又因为0＜t＜2，所以实数t的取值范围是(0，

8

5

]（10分）
（3）由lg

2x

1+x

=lg(8x+m)⇒

2x 1+x =8x+m 2x 1+x ＞0

⇒

8x2+(6+m)x+m=0 x＜-1或x＞0

（12分）
方程的解集为∅，故有两种情况：
①方程8x²+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，两根均在[-1，0]内，g（x）=8x²+（6+m）x+m
则

△≥0 g(-1)≥0 g(0)≥0 -1≤ -6-m 16 ≤0

⇒

m≤2或m≥18 -6≤m≤10

⇒0≤m≤2（17分）
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18（18分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，其中（1）的关键是根据已知构造一个关于a，b方程组，（2）的关键是根据对数函数的单调性，将已知中的不等式转化为一个分式不等式，（3）的关键是利用对数的性质，将已知的方程转化为一个x的分式方程组．