Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2

B

2

+bsin2

A

2

=

c

2

（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若a-b=4，△ABC的最大内角为120°，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理和三角函数的降幂公式，化简已知等式得sinA（1-cosB）+sinB（1-cosA）=sinC，再用诱导公式sinC=sin（A+B），化简整理得到sinA+sinB=2sinC，即得a+b=2c，故a，c，b为等差数列；
（II）将a-b=4与a+b=2c联解，得到a=c+2且b=c-2，从而得到a为最大边、A为最大角等于120°，再利用余弦定理加以计算，得出b、c的长，利用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理和降幂公式，可得
将asin2

B

2

+bsin2

A

2

=

c

2

化为：sinA•

1-cosB

2

+sinB•

1-cosA

2

=

1

2

sinC
即sinA（1-cosB）+sinB（1-cosA）=sinC，结合sinC=sin（A+B）
得sinA-sinAcosB+sinB-cosAsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
∴sinA+sinB=2（sinAcosB+cosAsinB）=2sin（A+B）=2sinC
即sinA+sinB=2sinC，
再由正弦定理，得a+b=2c，故a，c，b为等差数列…（6分）
（Ⅱ）∵a-b=4，且a+b=2c
∴联列

a+b=2c a-b=4

可得

a=c+2 b=c-2

，
∵最大内角为120°，且a为最大边
∴cosA=cos120°=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，解之得c=5且b=3…（10分）
故△ABC的面积S△ABC=

1

2

bcsinA=

15

4

3

…（12分）

点评：本题给出三角形的边角关系式，求三边的等差关系并依此求三角形的面积．着重考查了三角恒等变换公式、正弦定理和三角形的面积求法等知识，属于中档题．