Question

（08年湖北卷文）（本小题满分14分）

    已知数列,其中为实数，为正整数.

    （Ⅰ）证明：当

（Ⅱ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有

     若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数，使｛a_n｝是等比数列，则有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

（Ⅱ）证明：∵

                 

                                      

又由上式知

故当数列｛b_n｝是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是

       

         当时，，从而上式仍成立.

         要使对任意正整数n , 都有

          即

          令

          当n为正奇数时，当n为正偶数时，

          

           于是可得

           综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有

          的取值范围为

【试题解析】第（1）问问的是证明 “不是等比数列”，这样的问题显然用“反证法”；第（2）问要先求和再解建立不等式。

【高考考点】本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理能力。

【易错提醒】本题主要是，没有掌握解题的基本方法，再就是没有分类讨论。

【备考提示】对等比数列、等差数列、数求和的知识要熟练掌握，数列中要特别注意递推关系式的结构。