题目内容
已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，求：（1）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）函数f（x）的单调增区间．
分析：（1）法一：利用二倍角公式，两角和的正弦函数，化简函数为2+
sin(2x+
)，然后求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
法二：利用平方关系，两角和的正弦函数，化简函数为2+
sin(2x+
)，然后求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f（x）的单调增区间．
| 2 |
| π |
| 4 |
法二：利用平方关系，两角和的正弦函数，化简函数为2+
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f（x）的单调增区间．
解答：解：（1）解法一：∵f(x)=
+sin2x+
=2+sin2x+cos2x=2+
sin(2x+
)（4分）
∴当2x+
=2kπ+
，即x=kπ+
(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+
．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+
，k∈Z}． （8分）
解法二：∵f（x）=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+
sin(2x+
)（4分）
∴当2x+
=2kπ+
，即x=kπ+
(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+
．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+
，k∈Z}（8分）
（2）解：f(x)=2+
sin(2x+
)
由题意得2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
(k∈Z)，即kπ-
π≤x≤kπ+
(k∈Z)．
因此，f（x）的单调增区间是[kπ-
，kπ+
](k∈Z)． （12分）
| 1-cos2x |
| 2 |
| 3(1+cos2x) |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
∴当2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 2 |
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+
| π |
| 8 |
解法二：∵f（x）=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+
| 2 |
| π |
| 4 |
∴当2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 2 |
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+
| π |
| 8 |
（2）解：f(x)=2+
| 2 |
| π |
| 4 |
由题意得2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| π |
| 8 |
因此，f（x）的单调增区间是[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
点评：本题考查三角函数的最值，正弦函数的单调增区间的求法，考查计算能力，基本知识掌握的熟练程度，高考常考题型．
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