Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=12n-n2．(n∈N°)
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{ b_n-|a_n|}是首项为1，公比为2的等比数列，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a_n与S_n的关系式，当n≥2时a_n=s_n-s_n-1求出表达式，注意验证n=1时是否符合；
（Ⅱ）根据等比数列的通项公式和（Ⅰ）结论，求出b_n的表达式，利用分组求和法和分类讨论法分别求出T_n．

解答：解：当n=1时，a₁=s₁=12-1=11，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n，
当n=1时，a₁=13-2=11也符合上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=13-2n．
（Ⅱ）由题意，b_n-|a_n|=2^n-1，即 b_n=a_n+2^n-1，
∴T_n=（2⁰+|a₁|）+（2¹+|a₂|）+…+（2^n-1+|a_n|）
=（2⁰+2¹+…+2^n-1）+（|a₁|+|a₂|+…+|a_n|）
=（2ⁿ-1）+（|a₁|+|a₂|+…+|a_n|）
令a_n=13-2n≥0，且n∈N₊，解得n≤6，
当n≤6时，|a₁|+|a₂|+…|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=Sn=12n-n2，
当n＞6时，|a₁|+|a₂|+…|a_n|=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+a₈+…+a_n）
=2s₆-s_n=n²-12n+72，
综上得，T_n=

2n-1+12n-n2               n≤6 2n+n2-12n+71            n＞6

．

点评：本题考查了等差（等比）数列的通项公式和前n项和公式，以及数列a_n与S_n的关系式等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力．