Question

如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°.

（1）求证：AF∥平面PEC；

（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；

（3）设AD=2，CD=2,求点A到平面PEC的距离.

Answer 1

（1）（2）证明略，（3）1

解析:

(1)  取PC的中点G，

连接EG、FG，

∵F为PD的中点，

∴GFCD.

∵CDAB，又E为AB的中点，

∴AE GF.

∴四边形AEGF为平行四边形.

∴AF∥GE，且AF平面PEC，因此AF∥平面PEC.

(2)  PA⊥平面ABCD，

则AD是PD在底面上的射影.又ABCD为矩形，

∴CD⊥AD，则CD⊥PD.因此CD⊥AF，

∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°.

F为Rt△PAD斜边PD的中点，

AF⊥PD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD.

由（1）知AF∥EG.∴EG⊥平面PCD.

∵EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.

（3）  由（1）（2）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC交PC于H，则FH⊥平面PEC.

∴FH的长度为F到平面PEC的距离，

即A到平面PEC的距离.

在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，

∠FHP=∠CDP=90°，

∴△PFH∽△PCD，∴=.

∵AD=2，PF=，PC===4，

∴FH=×2=1.

∴A到平面PEC的距离为1.