Question

已知点M（-8，0），点P，Q分别在x，y轴上滑动，且

MQ

⊥

PQ

，若点N为线段PQ的中点．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）点H（-1，0），过点H做直线l交曲线C于A，B两点，且

HA

=λ

HB

（λ＞1），点A关于x轴的对称点为D，已知点F（1，0），求证：

FD

=-λ

FB

；
（3）过点F（1，0）的直线交曲线C于E，K两点，点E关于x轴的对称点为G，求证：直线GK过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用直接法来求动点N的轨迹方程．设出动点N的坐标，根据

MQ

⊥

PQ

，得到N点坐标满足的关系式，化简即可得到动点N的轨迹C的方程．
（2）设出A，B点的坐标，根据

HA

=λ

HB

（λ＞1），可得A，B坐标的关系，根据直线l过点H（-1，0），设出直线AB的方程，代入抛物线方程，求x₁x₂，代入

FD

=-λ

FB

的左右两边，验证即可．
（3）设出过点F（1，0）的直线方程，求E，F两点的纵坐标之积y₃y₄，求出点E关于x轴的对称点G点坐标，用此表示直线GK方程，根据前面所求y₃y₄的值，即可化简直线GK方程，再判断是否过定点．

解答：解：（1）设N（x，y），则P（2x，0），Q（0，2y），

MQ

=(8 ， 2y)，

PQ

=(-2x ， 2y)．
∵

MQ

⊥

PQ

，∴-16x+4y²=0．
∴动点N的轨迹方程为y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（x₁，-y₁）．
由

HA

=λ

HB

，知（x₁+1，y₁）=λ（x₂+1，y₂），
即

x1+1=λ(x1+1)① y1=λy2②

要证明

FD

=-λ

FB

，只要证明（x₁-1，-y₁）=-λ（x₂-1，y₂），
即只要证明

x1-1=-λ(x1-1)③ y1=-λy2 ④

由②知④成立．由①知，要证③，只要证x1-1=-

x1+1

x2+1

(x2-1)．
只要证（x₁-1）（x₂+1）+（x₁+1）（x₂-1）=0，只要证x₁x₂=1．
∵AB过点H（-1，0），∴可设直线AB的方程为y=k（x+1），
代入y²=4x，并整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
由韦达定理，知x1x2=

k2

k2

=1．
∵③，④都成立，∴

FD

=-λ

FB

．
（3）设E(

y 2 3

4

 ， y3)，E(

y 2 4

4

 ， y4)，则
直线EK的方程为 4x-（y₃+y₄）y+y₃y₄=0．
∵EK过点F（1，0），∴4-0+y₃y₄=0，∴y₃y₄=-4．
∵G与E关于x轴对称，∴G(

y 2 3

4

 ， -y3)．
∴直线GK的方程为4x-（-y₃+y₄）y-y₃y₄=0，
∵y₃y₄=-4，∴GK的方程为4x-（-y₃+y₄）y+4=0，
∴直线GK过定点（-1，0）．

点评：本题主要考查了直接法求轨迹方程，以及直线与圆锥曲线关系的判断．