Question

已知点F（0，1），一动圆过点F且与圆x²+（y+1）²=8内切，
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；
（3）在0＜a＜1的条件下，设△POA的面积为s₁（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以d（a）为边长的正方形的面积为s₂．若正数m满足，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设圆心坐标为P（x，y），则动圆的半径为r=，又动圆与x²+（y+1）²=8内切，故，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程．
（2）设P（x，y），则|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]．再分类讨论能够推导出．
（3）当0＜a＜1时，P（），于是，S₂=2a²+2，若正数m满足条件，则，
，令，设t=a²+1，则t∈（1，2），a²=t-1，于是=-4，由此能够导出m存在最小值．
解答：解：（1）设圆心坐标为P（x，y），则动圆的半径为r=，
又动圆与x²+（y+1）²=8内切，
∴，
整理得2x²+y²=2，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为2x²+y²=2．
（2）设P（x，y），则
|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²
=-x²-2ax+a²+2
=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
∴当-a＜-1，即a＞1时，f（x）在[-1，1]上是减函数，
[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²．
当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，f（x）在[-1，-a]上是增函数，在[-a，1]上是减函数，
则[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2．
当-a＞1，即a＜-1时，f（x）在[-1，1]上是增函数，
[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²，
∴．
（3）当0＜a＜1时，P（），于是，S₂=2a²+2，
若正数m满足条件，则，
即，
，令，
设t=a²+1，则t∈（1，2），a²=t-1，
于是==-4，
∴当，即时，，
即，∴m存在最小值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．