Question

如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图．已知CF=2AD，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求该几何体的体积；
（Ⅱ）求二面角B-DE-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，连接PD，QD，该几何体的体积V=V_{三棱柱PDQ-ABC}+V_D-EFPQ然后求解即可．
（Ⅱ）取BC中点O，EF中点R，连接OA，OR，以O为原点，OB，OR，OA所在直线分别为x，y，z轴．建立空间直角坐标系，求平面ABED的法向量，平面DEF的法向量为，利用求二面角B-DE-F的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，
连接PD，QD，AD∥CP，且AD=CP．四边形ACPD为平行四边形，
∴AC∥PD，∴平面PDQ∥面ABC．
∴；（5分）

（Ⅱ）取BC中点O，EF中点R，连接OA，OR．
则OA⊥BC，∴OA⊥平面BCFE，OA⊥OR．
又∵OR⊥BC，以O为原点，OB，OR，OA所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，），E（1，3，0），F（-1，4，0）
设平面DEF的法向量为
∵∵
∴
令
设平面ABED的法向量
∵
，∴
令
∴∴=，
显然二面角B-DE-F的平面角为钝角，
所以二面角B-DE-F的余弦值为．（12分）
点评：本题考查三视图求体积，求几何体的二面角，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．