Question

8．正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC，CA上，D为AB的中点，DE⊥DF，且DF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$DE，则∠BDE=60°．

Answer 1

分析 设出∠BDE=θ，分别在△BDE和△ADF中利用正弦定理表示出DF和DE，根据已知的关系式求得tanθ的值，进而求得答案．

解答 解：设∠BDE=θ，在△BDE中，由正弦定理知$\frac{ED}{sin60°}$=$\frac{BD}{sin（120°-θ）}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（60°+θ）}$，
同理在△ADF中，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（30°+θ）}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{sin（60°+θ）}{sin（30°+θ）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得tanθ=$\sqrt{3}$，
∴θ=60°．
故答案为：60°

点评 本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正三角形的内角均为60°建立关系式．