Question

【题目】已知函数，是的导函数。

（1）证明：在内存在唯一的极小值点；

（2）证明：当时，有且只有两个零点.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）令，可知函数在单调递增，利用零点存在定理并结合函数在上的单调性可证明出函数在内存在唯一的极小值点；

（2）利用导数证明出函数在区间上为增函数，结合零点存在定理可证明出函数在区间只有一个零点，利用（1）中的结论可证明出函数在区间上没有零点，再由以及函数在上单调递增，可证明出函数有且只有两个零点.

（1）令，则，

显然函数在单调递增.

因为，，

（因为）

故存在唯一的使得.

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以函数，即在区间存在唯一的极小值点，且；

（2）当时，，函数单调递增，，，，

所以，函数在区间上存在唯一的零点.

当时，由（1）当时，，函数单调递减，，，所以存在，使得，

当，，当，，

所以在先递增后递减，，，

函数在没有零点；

因为，所以是函数的第二个零点；

时，，函数单调递增，，没有零点.

综上所述，当时，函数有且只有两个零点.