Question

log_0.5

x+1

x-1

＞log_0.5

m

(x-1)2(7-x)

对任意x∈[2，4]恒成立，则m的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：根据对数函数的性质，根据条件恒成立，将条件转化为求m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．利用导数和函数的单调性之间的关系，即可得到结论．

解答：解：∵log_0.5

x+1

x-1

＞log_0.5

m

(x-1)2(7-x)

对任意x∈[2，4]恒成立，
即

x+1 x-1 ＞0 x+1 x-1 ＜ m (x-1)2(7-x)

在x∈[2，4]恒成立，
即

x＞1或x＜-1 x+1＜ m (x-1)(7-x)

，
∵x∈[2，4]，
∴7-x＞0，x-1＞0，
∴不等式等价为m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x）=（x²-1）（7-x）=-x³+7x²+x-7，
∴g'（x）=-3x²+14x+1．
∵x∈[2，4]，
∴g'（x）＞0，
此时函数g（x）单调递增，
∴当x=4时，函数g（x）取得最大值g（4）=（4²-1）（7-4）=15×3=45，
∴m＞45．
故答案为：（45，+∞）．

点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用 函数的单调性将条件进行转化，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题根据，综合性较强．