Question

已知函数f（x）=ax²-bx+c（a＞0，b、c∈R），曲线y=f（x）经过点P（0，2a²+8），且在点Q（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，设g（x）=（f（x）-16）•e^-x．
（1）用a分别表示b和c；（2）当

c

b

取得最小值时，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

（1）∵经过点P（0，2a²+8），
∴c=2a²+8；
由切线垂直于y轴可知f′（-1）=0，从而有-2a+b=0，
∴b=2a
（2）因为a＞0从而

c

b

=

2a2+8

2a

=a+

4

a

≥2

a• 4 a

=4，
当且仅当a=

4

a

，即a=2时取得等号．
∴f（x）=2x²+4x+16；g（x）=（2x²+4x）e^-x
∴g′（x）=e^-x（4-2x²）
因为e^-x＞0
∴g′（x）＞0时g（x）为单调递增函数，即(-

2

，

2

)为单调递增区间