Question

设数列{a_n}的前n项的和Sn=

4

3

a n-

1

3

×2n+1+

2

3

，n=1，2，3…
（Ⅰ）求首项a₁与通项a_n；
（Ⅱ）设Tn=

2n

Sn

，n=1，2，3…，证明：

n

i=1

Ti＜

3

2

．

Answer 1

分析：（I）利用递推关系和等比数列的定义及其通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（Ⅰ）a1=S1=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2．
a_n+1=S_n+1-S_n=

4

3

an+1-

4

3

an-

1

3

(2n+2-2n+1)，
得an+1+2n+1=4(an+2n)，
所以数列{an+2n}是公比为4的等比数列
∴an+2n=(a1+2)×4n-1
∴an=4n-2n （其中n为正整数）
（II）Sn=

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

=

4

3

(4n-2n)-

1

3

2n+1+

2

3

=

2

3

(2n+1-1)(2n-1)，
Tn=

2n

Sn

=

3

2

×

2n

(2n+1-1)(2n-1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，
∴

n

i=1

Ti=

3

2

×(

1

21-1

-

1

2n+1-1

)＜

3

2

．

点评：熟练掌握数列的递推关系、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”等是解题的关键．