题目内容

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC为直角，D，E分别为BC，AC的中点，AB=2PA．
（1）BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？请说明理由；
（2）对于（1）中的点F，求AF与平面PEF所成角的正弦值．

解：（1）取CD的中点F，连接EF、PF

∵△ACD中，E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，且EF= $\text{[math]}$ AD
∵EF⊆平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，
所以存在CD的中点F，使AD∥平面PEF．
（2）设PA=1，则AB=AC=2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，AD是BC边的中线
∴BC= $\text{[math]}$ ，且AD=BD=CD= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$
Rt△ADF中，DF= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ ，可得AF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵PA⊥平面ABC，AF⊆平面ABC，
∴PA⊥AF，可得Rt△PAF中，PF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
同理可得Rt△PAE中，PE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴△PEF中，EF= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ ，可得cos∠EPF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

由同角三角函数关系，得sin∠EPF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴△EPF的面积S_△EPF= $\text{[math]}$ PE•PFsin∠EPF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵△EAF的面积S_△EAF= $\text{[math]}$ S_△ADC= $\text{[math]}$
∴三棱锥P-AEF的体积V= $\text{[math]}$ ×S_△EAF×PA= $\text{[math]}$
设A到平面PEF的距离为d，则V_A-PEF= $\text{[math]}$ ×S_△EPF×d= $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ d= $\text{[math]}$ ，可得d= $\text{[math]}$
所以AF与平面PEF所成角θ满足sinθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴AF与平面PEF所成角的正弦值等于 $\text{[math]}$
分析：（1）取CD的中点F，连接EF、PF，由三角形中位线定理，可得EF∥AD，再由线面平行的判定定理，可得AD∥平面PEF．
（2）设PA=1，则AB=AC=2，利用线面垂直的性质结合勾股定理，得到△PEF的各边长，再用正余弦定理算出其面积S_△PEF= $\text{[math]}$ ．设A到平面PEF的距离为d，利用三棱锥的体积进行转换，即得d= $\text{[math]}$ ，最后根据线面所成角的性质，得到AF与平面PEF所成角θ满足sinθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而得到答案．
点评：本题给出底面是等腰直角三角形且一条侧棱与底面垂直的三棱锥，证明线面平行并求线面所成的角，着重考查了线面平行、垂直的判定与性质和直线与平面所成角等知识，属于中档题．