Question

已知函数f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞)．
（1）当a=

1

2

时，判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）如果对任意x∈[1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=

1

2

时，f(x)=x+

1

2x

+2，f′(x)=1-

1

2x2

，从而有当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，故可判断；
（2）f(x)=

x2+2x+a

x

＞0，x∈[1，+∞)，则问题等价于x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函数，所以取1时，有最小值）所以min （x+1）²=4＞1-a（min （x+1）²是说（x+1）²的最小值），故可解．

解答：解：（1）当a=

1

2

时，f(x)=x+

1

2x

+2，f/(x)=1-

1

2x2

当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，从而函数f（x）在[1，+∞）上的单调增；
（2）f(x)=

x2+2x+a

x

＞0，x∈[1，+∞)，则x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函数，所以取1时，有最小值）所以4＞1-a，解得a＞-3．

点评：本题主要考查利用导数判断与证明函数的单调性，同时考查最值法研究函数恒成立问题．