Question

已知函数f(x)=sin(

π

2

-x)+sinx．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若f(α-

π

4

)=

2

3

，求f(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）根据诱导公式和二倍角公式化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，然后结合正弦函数的单调增区间求出结果；
（2）首先根据f（α-

π

4

）=

2

3

求出sinα的值，然后根据二倍角的余弦求出结果．

解答：解：（1）f（x）=sin（

π

2

-x）+sinx=cosx+sinx=

2

sin（x+

π

4

）
∵y=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增，
∴-

π

2

≤x+

π

4

≤

π

2

整理得：-

3π

4

≤x≤

π

4

∴f（x）在2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z）上单调递增．
（2）由（1）知f（x）=

2

sin（x+

π

4

）
∴f（α-

π

4

）=

2

sinα=

2

3

∴sinα=

1

3

f（2α+

π

4

）=

2

sin（2α+

π

2

）=

2

cos2α=

2

（1-2sin²α）=

2

×（1-2×

1

9

）=

7 2

9

点评：本题主要考查三角函数单调性以及二倍角公式等知识，将函数化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式是解题的关键，属于中档题．