Question

设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K，定义函数fk(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函数f(x)=

5

2

x2-3x2lnx，若对任意的x∈（0，+∞），恒有f_k（x）=f（x），则K的最小值为______．

Answer 1

∵函数fk(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，
对任意的x∈（0，+∞），恒有f_k（x）=f（x），
∴k≥f（x）_最大值，
由于f′（x）=5x-3x-6xlnx=2x-6xlnx，
令f′（x）=0，解得x=0（舍），或x=e

1

3

，
当0＜x＜e

1

3

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞e

1

3

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=e

1

3

时，f（x）取到最大值f（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

．
故当k≥

3

2

e

2

3

时，恒有f_k（x）=f（x）．
因此K的最小值是

3

2

e

2

3

．
故答案为：

3

2

e

2

3

．