Question

已知函数f（x）=2x+

a

x

，且f（1）=1   
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

Answer 1

分析：（1）由题意，函数f（x）=2x+

a

x

，且f（1）=1，可得方程2+a=1，解方程即可得到a的值；
（2）先判断f（-x）与f（x）的关系，再由定义得出函数的奇偶性；
（3）由函数解析式f（x）=2x-

1

x

，知此函数是一个增函数，由定义法证明即可．

解答：解：（1）∵f（1）=1，
∴2+a=1，得a=-1
（2）函数的定义域是{x|x≠1}
又f（-x）=-2x-

a

x

=-（2x+

a

x

）=-f（x），所以，函数是奇函数
（3）由（1）f（x）=2x-

1

x

，此函数在（1，+∞）上是增函数
任取1＜x₁＜x₂＜+∞，
f（X₁）-f（x₂）=（2 x₁-

1

x 1

）-（2x₂-

1

x 2

）=

(2x 1x 2+1)(x 1-x 2)

x 1x 2

由于1＜x₁＜x₂＜+∞，可得2x₁x₂+1＞0，x₁-x₂0
∴f（X₁）-f（x₂）=

(2x 1x 2+1)(x 1-x 2)

x 1x 2

＜0，
∴f（X₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的、函数单调性的判断与证明，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，本题考察了推理判断的能力，是函数中的基本题．