Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g(x)=-x2+2bx+3．当a=-

1

3

时，若对任意x1∈(0，+∞)，存在x2∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），求实数b取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，知f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，由此能推导出函数f（x）的单调性．
（2）当a=-

1

3

时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=

1

3

，欲使f（x₁）≤g（x₂）恒成立，只需g（x）_max≥f（x）_max=

2

3

，由此能求出实数b取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，由f′（x）=0，得x2=-

a+1

2a

，
∵x＞0，∴x=

- a+1 2a

，
当x∈（0，

- a+1 2a

）时，f′（x）＞0，
当x∈（

- a+1 2a

，+∞）时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，

- a+1 2a

）上单调递增；在（

- a+1 2a

，+∞）上单调递减．
（2）当a=-

1

3

时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=

1

3

，
欲使符合条件的f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需存在g（x）_max≥f（x）_max=

2

3

即可，
∴存在x∈[1，2]使得不等式-x²+2bx+3≥

2

3

成立，
则由2bx≥x2-

7

3

，得到2b≥x-

7

3x

，
∵x-

7

3x

在[1，2]上有最小值-

4

3

，
因此2b≥-

4

3

，故b≥-

2

3

．

点评：本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．