Question

已知f（x）是R上的单调函数，且对任意的实数a∈R，有f（-a）+f（a）=0恒成立，若f（-3）=2
（Ⅰ）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f(

m-x

x

)+f(m)＜0，其中m∈R且m＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用f（-a）+f（a）=0恒成立得f（x）是R上的奇函数，得f（0）=0；再与条件相结合即可判断f（x）在R上的单调性；
（Ⅱ）先利用奇函数的定义把：f(

m-x

x

)+f(m)＜0转化为得f(

m-x

x

)＜-f(m)=f(-m)；再于（Ⅰ）的结论相结合得到

m-x

x

＞-m，最后分类讨论求出x的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）为R上的减函数．
理由如下：∵f（-a）+f（a）=0恒成立得f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，
又因f（x）是R上的单调函数，
由f（-3）=2，f（0）＜f（-3），所以f（x）为R上的减函数．
（Ⅱ）由f(

m-x

x

)+f(m)＜0，得f(

m-x

x

)＜-f(m)=f(-m)，
结合（I）得

m-x

x

＞-m，整理得

(1-m)x-m

x

＜0
当m＞1时，{x | x＞0， 或x＜

m

1-m

}；
当m=1时，{x|x＞0}；
当0＜m＜1时，{x | 0＜x＜

m

1-m

}；

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性，是对这两个知识点的综合考查，属于中档题目．