题目内容

在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F（0， $数学公式$ ），直线AB的斜率为k，且满足|AF|•|BF|=1+k²．
（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；
（2）对（1）中的抛物线C，若直线l：y=x+m（m＞0）与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围．

解：（1）由已知设l_AB：y=kx+ $\text{[math]}$ ①
又设抛物线C：x²=ay（a＞0）②
由①②得x²-akx- $\text{[math]}$ =0
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），，则x_A•x_B=- $\text{[math]}$
由弦长公式得 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∴|AF|•|BF|=（1+k²）×| $\text{[math]}$ |
而|AF|•|BF|=1+k²，所以a=2，即抛物线方程为C：x²=2y

（2）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），由 $\text{[math]}$ ?x²-2x-2m=0
而△4+8m＞0（m＞0）
则x_M+x_N=2，x_M•x_N=-2m，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
不妨设x_M＜x_N，由于m＞0，则x_M＜0＜x_N
令 $\text{[math]}$ ，则ON到OM的角为θ，且满足
tanθ= $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，t＞1且t≠ $\text{[math]}$
∴tanθ= $\text{[math]}$
函数y=x与 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上皆为增函数
∴t- $\text{[math]}$ ∈（-4，0）∪（0，+∞）
∴ $\text{[math]}$ ∈（-∞，-1）∪（0，+∞）
则θ∈（0， $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），又m=2时，∠MON=θ= $\text{[math]}$
∴∠MON∈（0， $\text{[math]}$ ）
分析：（1）设出直线AB和抛物线C的方程并联立消y，在利用弦长公式求出AF和BF代入|AF|•|BF|=1+k²．即可求出抛物线C的方程；
（2）先把直线l的方程与抛物线C的方程联立消y，求出M、N两点横坐标之间的关系，再求出直线ON和MO的斜率，利用到角公式求出∠MON的正切．最后在利用函数的思想求出∠MON的正切值的范围，进而求出∠MON的取值范围．
点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系以及弦长公式的应用问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．