Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=2a_n-1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n=na_n求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，S_n=2a_n-1，得S_n-1=2a_n-1-1，（n≥2），两式相减可得数列递推式，由此可判断{a_n}是等比数列，从而可求得a_n；
（2）先表示出b_n，然后利用错位相减法可求得T_n．

解答：解：（1）a₁=1，S_n=2a_n-1，
∴S_n-1=2a_n-1-1，（n≥2）
两式相减，得S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）．
∴a_n=2a_n-2a_n-1，a_n=2a_n-1
∴

an

an-1

=2，∴{a_n}是公比为2首项为1的等比数列，
∴an=a1qn-1=2n-1．
（2）∵b_n=na_n，=n•2^n-1，
∴Tn=1×1+2×21+3×22+…+n•2n-1．①，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n．②
①-②得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=

1-2n

1-2

-n•2n
=（1-n）•2ⁿ-1．
∴Tn=(n-1)•2n+1．

点评：本小题主要考查数列、数列求和等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识