Question

如图已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍且经过点M(2，1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A、B两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)求m的取值范围；

(3)求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅲ)设直线MA、MB斜率分别为k1，k2，则只要证：k1＋k2＝0 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝ 　　由x2＋2mx＋2m2－4＝0得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4 　　而k1＋k2＝ 　　又y1＝x1＋m　y2＝x2＋m 　　∴(*)分子＝(x1＋m－1)(x2－2)＋(x2＋m－1)(x1－2) 　　＝x1x2＋(m－2)(x1＋x2)－4(m－1) 　　＝2m2－4＋(m－2)(－m)－4(m－1) 　　＝0 　　∴k1＋k2＝0，证之．