Question

(本小题满分l2分)

已知函数

（1）若，求函数的极小值；

（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？

 

Answer 1

【答案】

（1）极小值   （2）不存在

【解析】

试题分析：（I）由已知得， 

则当时，可得函数在上是减函数，

当时，可得函数在上是增函数，

故函数的极小值为；

(Ⅱ)若存在，设，则对于某一实数，方程在上有三个不同的实数根，设，

则有两个不同的零点，即关于的方程有两个不同的解

，

则，

设，则，故在上单调递增，

则当时，即，

又，则故在上是增函数，

则至多只有一个解，故不存。

方法二：关于方程的解，

当时，由方法一知，此时方程无解；

当时，可以证明是增函数，此方程最多有一个解，故不存在。

考点：利用导数研究函数的单调性；极值；函数的零点．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．