Question

已知：两条直线l₁：y=m²和l₂：y=6-2m（m＜3），直线l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A、B，直线l₂与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点C、D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b．
（1）若m=2时，求a的值．
（2）当m变化时，记f（m）=

b

a

，求函数f（m）的解析式及其最小值．

Answer 1

分析：（1）将m=2代入，可得直线l₁和l₂的方程，进而求出A，B，C，D的横坐标，进而求出线段AC在x轴上的投影长度a
（2）由已知中l₁：y=m²和l₂：y=6-2m，y=|log₂x|，解绝对值方程可求出a，b的表达式，进而得到f（m）的表达式，根据二次函数的图象和性质及指数函数的性质，可得f（m）的最小值．

解答：解：（1）若m=2，则直线l₁：y=4和l₂：y=2
由|log₂x|=4，得x1=2-4，x2=24，…1分
由|log₂x|=2，得x3=2-2，x4=22…（2分）
xA=2-4，xC=2-2，…（4分）
∴a=|xA-xC|=

3

16

…（5分）
（2）∵l₁：y=m²和l₂：y=6-2m，y=|log₂x|
由|log₂x|=m²，得x1=2-m2，x2=2m2，…7分
|log₂x|=6-2m，得x3=2-(6-2m)，x4=2(6-2m)．…（9分）
得a=|2-m2-2-(6-2m)|，b=|2m2-2(6-2m)|，…（10分）
所以f（m）=

b

a

=

|2m2-2(6-2m)|

|2-m2-2-(6-2m)|

=2m22(6-2m)=2m2-2m+6（m＜3且m≠-1±

7

） …（13分）
因为：m²-2m+6=（m-1）²+5≥5，（m＜3）
所以f（m）=

b

a

=2m2-2m+6≥2⁵=32．…（16分）

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，绝对值方程的解法，函数的最值，其中求出a，b的表达式，是解答的关键．