题目内容

已知点A（-3，0）和圆O：x²+y²=9，AB是圆O的直径，M和N是AB的三等分点，P（异于A，B）是圆O上的动点，PD⊥AB于D， $数学公式$ ，直线PA与BE交于C，则当λ=________时，|CM|+|CN|为定值．

$\text{[math]}$
分析：设点P（x₀，y₀），则点E（x₀， $\text{[math]}$ ），用点斜式求出PA、BE的方程，联立方程组求得点C满足的关系式，为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a=6．再根据 a²-b²=c² 可得λ的值．
解答：由题意可得B（3，0），M（-1，0）、N（1，0），设点P（x₀，y₀），则点E（x₀， $\text{[math]}$ ）．
故PA的方程为 y= $\text{[math]}$ •（x+3）…①，BE的方程为 y= $\text{[math]}$ （x-3）…②．
由①②联立方程组可得 y²= $\text{[math]}$ （x-9）．
把 $\text{[math]}$ =9- $\text{[math]}$ 代入化简可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，
|CM|+|CN|为定值2a=6．
此时，a=3，c=1，b= $\text{[math]}$ ，由 a²-b²=c² 可得 9- $\text{[math]}$ =1，求得λ= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，椭圆的定义和简单性质的应用，求两条直线的交点坐标，属于中档题．