Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为-1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由

1-x＞0 x+3＞0

，求得x的范围，即可求得函数的定义域．
（2）化简函数f（x）的解析式，由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，结合x的范围，求得x的值，即为所求．
（3）化简函数为loga[-(x+1)2+4]，根据-3＜x＜1，以及0＜a＜1，求得函数的最小值，再根据最小值等于-1求得a的值．

解答：解：（1）要使函数有意义：则有

1-x＞0 x+3＞0

，
解之得：-3＜x＜1，
∴函数的定义域为：（-3，1）．
（2）函数可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)，
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，x=-1±

3

．
∵-1±

3

∈(-3，1)，
∴f（x）的零点是-1±

3

．
（3）函数可化为：f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4]，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4．
∵0＜a＜1，
∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4，
即f（x）_mim=log_a4，由log_a4=-1，求得a^-1=4，∴a=

1

4

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，属于中档题．