题目内容
如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：EF⊥平面BCD．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：EF⊥平面BCD．
解：（1）证明：取BC中点O，连接OF
∵F是AC中点，O为CB中点，∴OF∥DB且OF=
DB，又BD∥AE且AE=
BD
∴OF∥AE，OF=AE
∴四边形EAOF是平行四边形
∴OA∥FE
又∵OA
平面ABC，EF
平面ABC
∴EF∥平面ABC．
（2）连接BF，∵AE=1，则AB=BC=AC=BD=2，
于是
，
，
所以
，
，
所以BF⊥EF，又EF⊥CD，
又BF，CD为两条相交直线
故EF⊥平面BCD
∵F是AC中点，O为CB中点，∴OF∥DB且OF=
DB，又BD∥AE且AE=BD∴OF∥AE，OF=AE
∴四边形EAOF是平行四边形
∴OA∥FE
又∵OA
平面ABC，EF平面ABC∴EF∥平面ABC．
（2）连接BF，∵AE=1，则AB=BC=AC=BD=2，
于是
，，所以
，，所以BF⊥EF，又EF⊥CD，
又BF，CD为两条相交直线
故EF⊥平面BCD
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