Question

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列．
(1)证明：{r_n}为等比数列；
(2)设r₁=1，求数列的前n项和。

Answer 1

(1)证明：将直线y=x的倾斜角记为θ，则有，
设C_n的圆心为(λ_n，0)，
则由题意得知，得λ_n=2r_n，
同理λ_n+1=2r_n+1，
从而λ_n+1=λ_n+r_n+r_n+1=2r_n+1，
将λ_n=2r_n代入，解得r_n+1=3r_n，
故{r_n}是公比为3的等比数列．
(2)由于r_n=1，q=3，
故r_n=3^n-1，从而，
记，
则有，①
，②
①-②，得

，
∴。