题目内容
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则异面直线A1C与AE所成角的余弦值是
| ||
| 15 |
| ||
| 15 |
分析：建立空间直角坐标系，求出向量
与
的向量坐标，利用数量积求出异面直线A1C与AE所成角的余弦值．
| A1C |
| AE |
解答：
解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标如图；设正方体的棱长为1，
则A（1，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1，），C（0，1，0），
因为E是棱A1B1的中点，所以E（1，
，1），
所以
=(0，
，1)，|
|=
=
，
=(-1，1，-1)，|
|=
，
?
=
-1=-
，即
?
=
，
所以异面直线A1C与AE所成角的余弦值为cos＜
，
＞=
=
=
．
故答案为：
．
解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标如图；设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1，），C（0，1，0），
因为E是棱A1B1的中点，所以E（1，
| 1 |
| 2 |
所以
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AE |
(
|
| ||
| 2 |
| A1C |
| A1C |
| 3 |
| A1C |
| AE |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| CA1 |
| AE |
| 1 |
| 2 |
所以异面直线A1C与AE所成角的余弦值为cos＜
| CA1 |
| AE |
| ||||
|
|
| ||||||
|
| ||
| 15 |
故答案为：
| ||
| 15 |
点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM（或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．
练习册系列答案
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