Question

设

a

= (

x

2

 ， -

y

2

)，

b

= (

x

2

 ， -

y

2

)，P（x，y）是曲线C上任意一点，且满足

a

•

b

=1．O为坐标原点，直线l：x-y-1=0与曲线C交于不同两点A和B．（1）求

OA

• 

OB

；（2）设点M（2，0），求MP的中点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，可得椭圆方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，可求答案；
（2）假设点Q的坐标，利用Q是MP的中点，寻找坐标间的关系，从而可解．

解答：解：（1）曲线C为椭圆

x2

2

+

y2

4

=1．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是直线与椭圆的交点，
将y=x-1代入

x2

2

+

y2

4

=1，消去y，得3x²-2x-3=0．
则x1+x2=

2

3

 ， x1x2=-1，y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，∴

OA

• 

OB

=x1x2+y1y2=-

5

3

．
（2）设Q（x，y），则P（2x-2，2y），得

(2x-2)2

2

+

(2y)2

4

=1，则2（x-1）²+y²=1即为所求．

点评：本题主要考查向量的数量积运算，考查代入法求轨迹方程，关键是寻找动点与已知点坐标之间的关系．